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(2012•乐山)如图1,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗

题目详情
(2012•乐山)如图1,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G.
①求证:BD⊥CF;
②当AB=4,AD=
2
时,求线段BG的长.
▼优质解答
答案和解析
解(1)BD=CF成立.
理由:∵△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,
∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°,
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAF=∠DAF-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAF,
在△BAD和△CAF中,
AB=AC
∠BAD=∠CAF
AD=AF

∴△BAD≌△CAF(SAS).
∴BD=CF.…(3分)

(2)①证明:设BG交AC于点M.
∵△BAD≌△CAF(已证),
∴∠ABM=∠GCM.
∵∠BMA=∠CMG,
∴△BMA∽△CMG.
∴∠BGC=∠BAC=90°.
∴BD⊥CF.…(6分)

②过点F作FN⊥AC于点N.
∵在正方形ADEF中,AD=DE=
2

∴AE=
AD2+DE2
=2,
∴AN=FN=
1
2
AE=1.
∵在等腰直角△ABC 中,AB=4,
∴CN=AC-AN=3,BC=
AB2+AC2
=4
2

∴在Rt△FCN中,tan∠FCN=
FN
CN
=
1
3

∴在Rt△ABM中,tan∠ABM=
AM
AB
=tan∠FCN=
1
3

∴AM=
1
3
AB=
4
3

∴CM=AC-AM=4-
4
3
=
8
3
,BM=
AB2+AM2
=
42+(
4
3
)2
=
4
10
3
.…(9分)
∵△BMA∽△CMG,
BM
BA
CM
CG

4
10
3
4
8
3
CG

∴CG=
4
10
5
.…(11分)
∴在Rt△BGC中,BG=
BC2−CG2
=
8
10
5
.…(12分)