（2012•乐山）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗

Question

（2012•乐山）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=

2

时，求线段BG的长．

Answer 1

解（1）BD=CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

AB＝AC

∠BAD＝∠CAF

AD＝AF

∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD=CF．…（3分）

（2）①证明：设BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证），
∴∠ABM=∠GCM．
∵∠BMA=∠CMG，
∴△BMA∽△CMG．
∴∠BGC=∠BAC=90°．
∴BD⊥CF．…（6分）

②过点F作FN⊥AC于点N．
∵在正方形ADEF中，AD=DE=

2

，
∴AE=

AD2+DE2

=2，
∴AN=FN=(1)/(2)AE=1．
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，
∴CN=AC-AN=3，BC=

AB2+AC2

=4

2

．
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN=(FN)/(CN)=(1)/(3)．
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM=(AM)/(AB)=tan∠FCN=(1)/(3)．
∴AM=(1)/(3)AB=(4)/(3)．
∴CM=AC-AM=4-(4)/(3)=(8)/(3)，BM=

AB2+AM2

=

42+((4)/(3))2

=(410)/(3)．…（9分）
∵△BMA∽△CMG，
∴(BM)/(BA)＝(CM)/(CG)．
∴((410)/(3))/(4)＝((8)/(3))/(CG)．
∴CG=(410)/(5)．…（11分）
∴在Rt△BGC中，BG=

BC2−CG2

=(810)/(5)．…（12分）