（2014•唐山二模）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：（x-2）2+y2=1的两条切线，切点为A，B，|AB|=423．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）过抛物线E上的点N作圆C的两条

Question

（2014•唐山二模）已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：（x-2）²+y²=1的两条切线，切点为A，B，|AB|=(4√(2))/(3)．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得M（-(p)/(2)，0），C（2，0）．
设AB与x轴交于点R，
由圆的对称性可知，|AR|=(2√(2))/(3)．
于是|CR|=√(|AC|2+|AR|2)=(1)/(3)，
所以|CM|=(|AC|)/(sin∠AMC)=(|AC|)/(sin∠CAR)=3，
即2+(p)/(2)=3，p=2．
故抛物线E的方程为y²=4x．…（5分）
（Ⅱ）设N（s，t）．
P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．
圆D方程为（x-(s+2)/(2)）²+（y-(t)/(2)）²=((s−2)2+t2)/(4)，
即x²+y²-（s+2）x-ty+2s=0．①
又圆C方程为x²+y²-4x+3=0．②
②-①得（s-2）x+ty+3-2s=0．③…（9分）
P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．
因为直线PQ经过点O，所以3-2s=0，s=(3)/(2)．
故点N坐标为（(3)/(2)，√(6)）或（(3)/(2)，-√(6)）．…（12分）