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(2014•芜湖模拟)已知函数f(x)=ax-lnx,其中a∈R.(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在点(1,f(1))处切线l的方程,并判断l与f(x)的图象交点的个数;(Ⅱ)若f(x)存在零点,求实数a的取值
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(2014•芜湖模拟)已知函数f(x)=ax-lnx,其中a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在点(1,f(1))处切线l的方程,并判断l与f(x)的图象交点的个数;
(Ⅱ)若f(x)存在零点,求实数a的取值范围.
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在点(1,f(1))处切线l的方程,并判断l与f(x)的图象交点的个数;
(Ⅱ)若f(x)存在零点,求实数a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)f(1)=1,
k1=f′(1)=0,所以切线l的方程为y=1;
作F(x)=f(x)-1=x-lnx-1,x>0,则F′(x)=1-
,解F′(x)=0得x=1.
所以任意x>0且x≠1,F(x)>0,f(x)>
即函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l的上方,l与f(x)的图象交点的个数为1个;
(Ⅱ)若f(x)存在零点,则ax-lnx=0有解,
∴a=
(x>0),
令y=
(x>0),则y′=
,
∴0<x<e,y′>0,x>e,y′<0,
∴函数在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
∴y≤
,
∴a≤
.
k1=f′(1)=0,所以切线l的方程为y=1;
作F(x)=f(x)-1=x-lnx-1,x>0,则F′(x)=1-
1 |
x |
x | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
F′(x) | + | 0 | - |
F(x) | ↘ | 最小值 | ↗ |
即函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l的上方,l与f(x)的图象交点的个数为1个;
(Ⅱ)若f(x)存在零点,则ax-lnx=0有解,
∴a=
lnx |
x |
令y=
lnx |
x |
1−lnx |
x2 |
∴0<x<e,y′>0,x>e,y′<0,
∴函数在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
∴y≤
1 |
e |
∴a≤
1 |
e |
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