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(2014•泰安二模)已知函数f(x)=x-alnx-1.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)设a=2,对于任意的x∈[1,2],函数g(x)=x3+x2[f′(x)+m2]在区间(2,3)上不是单调函数,求实数m的取值范
题目详情
(2014•泰安二模)已知函数f(x)=x-alnx-1.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)设a=2,对于任意的x∈[1,2],函数g(x)=x3+x2[f′(x)+
]在区间(2,3)上不是单调函数,求实数m的取值范围.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)设a=2,对于任意的x∈[1,2],函数g(x)=x3+x2[f′(x)+
m |
2 |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由题意得:f(x)的定义域为:{x|x>0},
又∵f′(x)=1-
,
①当a≤0时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当a>0时,
令f(x)>0,解得:x>a,f(x)在(a,+∞)上单调递增,
令f(x)<0,解得:0<x<a,f(x)在(0,a)上单调递减;
综上所述:
当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减.
(Ⅱ)当a=2时,f(x)=x-2lnx-1,
∴f′(x)=1-
,
∴g(x)=x3+(1+
)x2-2x,
∴g′(x)=3x2+(2-m)x-2,
又g′(0)=-2,g(x)在(2,3)上不是单调函数,
∴
即:
,
解得:-
<m<-7.
∴实数m的范围是:(-
,-7).
又∵f′(x)=1-
a |
x |
①当a≤0时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当a>0时,
令f(x)>0,解得:x>a,f(x)在(a,+∞)上单调递增,
令f(x)<0,解得:0<x<a,f(x)在(0,a)上单调递减;
综上所述:
当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减.
(Ⅱ)当a=2时,f(x)=x-2lnx-1,
∴f′(x)=1-
2 |
x |
∴g(x)=x3+(1+
m |
2 |
∴g′(x)=3x2+(2-m)x-2,
又g′(0)=-2,g(x)在(2,3)上不是单调函数,
∴
|
|
解得:-
31 |
3 |
∴实数m的范围是:(-
31 |
3 |
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