（2014•德州一模）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1]且x1≠x2时，有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0．给出下列命题：（1）f（1）=0（2）f（x）在[-2，2

Question

（2014•德州一模）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1]且x₁≠x₂时，有(f(x2)−f(x1))/(x2−x1)＜0．给出下列命题：
（1）f（1）=0
（2）f（x）在[-2，2]上有5个零点
（3）（2013，0）是函数y=f（x）的一个对称中心
（4）直线是函数y=f（x）图象的一条对称轴
则正确命题个数是（　　）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

∵对∀x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，
∴对∀x∈R都有f（x+2）=f（x）成立，
即函数y=f（x）是周期为2的周期函数，
∴f（1）=f（-1）．
∵当x∈（0，1]且x₁≠x₂时，有(f(x2)−f(x1))/(x2−x1)＜0，
∴在区间（0，1]上函数为减函数．
又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（1）=-f（-1）．
∴f（1）=0，即（1）正确；
满足条件的函数y=f（x）的草图如下所示：

由图可知：
f（x）在[-2，2]上有：-2，-1，0，1，2，共5个零点，即（2）正确；
所有（k，0）（k∈Z）点均为函数的对称中心，故（3）（2013，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，正确；
函数y=f（x）图象无对称轴，故（4）错误；
则正确命题个数是3个
故选：C