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(2007•莱芜)在平面直角坐标系中,△AOB的位置如图所示,已知∠AOB=90°,AO=BO,点A的坐标为(-3,1).(1)求点B的坐标;(2)求过A,O,B三点的抛物线的解析式;(3)设抛物线的对称轴
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(2007•莱芜)在平面直角坐标系中,△AOB的位置如图所示,已知∠AOB=90°,AO=BO,点A的坐标为(-3,1).
(1)求点B的坐标;
(2)求过A,O,B三点的抛物线的解析式;
(3)设抛物线的对称轴为直线l,P是直线l上的一点,且△PAB的面积等于△AOB的面积,求点P的坐标.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/279759ee3d6d55fb9246539668224f4a21a4ddf9.jpg)
(1)求点B的坐标;
(2)求过A,O,B三点的抛物线的解析式;
(3)设抛物线的对称轴为直线l,P是直线l上的一点,且△PAB的面积等于△AOB的面积,求点P的坐标.
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▼优质解答
答案和解析
(1)作AC⊥x轴,垂足为C,作BD⊥x轴,垂足为D,易证△ACO≌△ODB,就可以求出OD,BD的长,可以得到B点的坐标.
(2)已知A,O,B三点的坐标,利用待定系数法,就可以求出抛物线的解析式.
(3)△PAB的面积等于△AOB的面积,则P点到AB的距离等于O到AB的距离,即△AOB AB边上的高线长.则过点O作AB的平行线,与抛物线的对称轴的交点,以及这点关于F的对称点就是所求的点.
【解析】
(1)作AC⊥x轴,垂足为C,作BD⊥x轴,垂足为D.
则∠ACO=∠ODB=90°,
∴∠AOC+∠OAC=90度.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f7246b600c338744de5c0acc540fd9f9d62aa0e0.jpg)
又∵∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠BOD=90°,
∴∠OAC=∠BOD.(1分)
又∵AO=BO,
∴△ACO≌△ODB.(2分)
∴OD=AC=1,DB=OC=3.
∴点B的坐标为(1,3).(4分)
(2)因抛物线过原点,
故设所求抛物线的解析式为:y=ax2+bx.
将A(-3,1),B(1,3)两点代入得,
,
解得
;
.(6分)
故所求抛物线的解析式为:
.(8分)
(3)设直线AB的方程为y=kx+b1,那么有:
,
解得
.
故直线AB的方程为:
.
∴
.(9分)
抛物线
的对称轴l的方程是:
,
,
解得
.
∴F点坐标为
.(10分)
∵l∥y轴,△PAB的面积等于△ABO的面积,
∴P点到直线AB的距离等于O点到AB的距离.
即OG=P1H=P2M(P点有两种情况).
则过原点O与AB平行的直线的解析式是y=
x.
函数y=
x与抛物线的交点坐标是即
,
而P1关于F点的对称点
.也是满足条件的点.
(2)已知A,O,B三点的坐标,利用待定系数法,就可以求出抛物线的解析式.
(3)△PAB的面积等于△AOB的面积,则P点到AB的距离等于O到AB的距离,即△AOB AB边上的高线长.则过点O作AB的平行线,与抛物线的对称轴的交点,以及这点关于F的对称点就是所求的点.
【解析】
(1)作AC⊥x轴,垂足为C,作BD⊥x轴,垂足为D.
则∠ACO=∠ODB=90°,
∴∠AOC+∠OAC=90度.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f7246b600c338744de5c0acc540fd9f9d62aa0e0.jpg)
又∵∠AOB=90°,
∴∠AOC+∠BOD=90°,
∴∠OAC=∠BOD.(1分)
又∵AO=BO,
∴△ACO≌△ODB.(2分)
∴OD=AC=1,DB=OC=3.
∴点B的坐标为(1,3).(4分)
(2)因抛物线过原点,
故设所求抛物线的解析式为:y=ax2+bx.
将A(-3,1),B(1,3)两点代入得,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7acb0a46f21fbe095bdee6a46e600c338644adf9.jpg)
解得
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/023b5bb5c9ea15ce7577c5b9b3003af33b87b2e0.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/3bf33a87e950352a8ce100b85643fbf2b3118bf9.jpg)
故所求抛物线的解析式为:
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0df431adcbef76091492bc2f2bdda3cc7dd99ee0.jpg)
(3)设直线AB的方程为y=kx+b1,那么有:
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/30adcbef76094b36cc123e5da6cc7cd98c109df9.jpg)
解得
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/55e736d12f2eb938f5ed5f42d0628535e4dd6ff9.jpg)
故直线AB的方程为:
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8d5494eef01f3a29ac51f07e9c25bc315d607ce0.jpg)
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/95eef01f3a292df5624389a5b9315c6035a873f9.jpg)
抛物线
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a9d3fd1f4134970a90ea359f90cad1c8a6865de0.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/71cf3bc79f3df8dc7ca4aa21c811728b461028e0.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a71ea8d3fd1f413408b720ce201f95cad0c85ef9.jpg)
解得
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/71cf3bc79f3df8dc7cbdaa21c811728b461028f9.jpg)
∴F点坐标为
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c9fcc3cec3fdfc0325f8c608d13f8794a5c226f9.jpg)
∵l∥y轴,△PAB的面积等于△ABO的面积,
∴P点到直线AB的距离等于O点到AB的距离.
即OG=P1H=P2M(P点有两种情况).
则过原点O与AB平行的直线的解析式是y=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dcc451da81cb39db734042e6d5160924aa1830f9.jpg)
函数y=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/e7cd7b899e510fb3de995227dc33c895d0430cf9.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ac4bd11373f082028012b48f4efbfbedaa641bf9.jpg)
而P1关于F点的对称点
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/78310a55b319ebc450f853298726cffc1f1716f9.jpg)
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