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证明：如果a1,a2,…as线性无关,而a1,a2,…as,B线性相关,则B可以由a1,a2,…as线性表出,并且表法唯一.
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证明：如果a1,a2,…as线性无关,而a1,a2,…as,B线性相关,则B可以由a1,a2,…as线性表出,并且表法唯一.
▼优质解答
答案和解析
因为a1,a2,…as,B线性相关,所以存在不全为0的s+1个数,k1,k2,...ks,k使得
k1a1+k2a2+…+ksas+kB=0.
这里k必不为零,这是因为若k=0,则上式变为k1a1+k2a2+…+ksas=0.
因为k=0,所以k1,k2,...,ks不全为零,所以a1,a2,…as线性相关
这与a1,a2,…as线性无关矛盾.
于是B=-(k1/k)a1-(k2/k)a2-...-(ks/k)as.
于是B可以由a1,a2,…as线性表出.
下面证明表示法的唯一性,
设有B=t1a1+t1a2+...+tsas,
B=c1a1+c2a2+...+csas
上面的两式相减得
(t1-c1)a1+(t2-c2)a2+...+(ts-cs)as=0
因为a1,a2,…as线性无关,所以必有t1=c1,t2=c2,...,ts=cs.
即表示法唯一.
k1a1+k2a2+…+ksas+kB=0.
这里k必不为零,这是因为若k=0,则上式变为k1a1+k2a2+…+ksas=0.
因为k=0,所以k1,k2,...,ks不全为零,所以a1,a2,…as线性相关
这与a1,a2,…as线性无关矛盾.
于是B=-(k1/k)a1-(k2/k)a2-...-(ks/k)as.
于是B可以由a1,a2,…as线性表出.
下面证明表示法的唯一性,
设有B=t1a1+t1a2+...+tsas,
B=c1a1+c2a2+...+csas
上面的两式相减得
(t1-c1)a1+(t2-c2)a2+...+(ts-cs)as=0
因为a1,a2,…as线性无关,所以必有t1=c1,t2=c2,...,ts=cs.
即表示法唯一.
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