函数f（x）=x|x|．若存在x∈[1，+∞），使得f（x-2k）-k<0，则k的取值范围是（）A.（2，+∞）B.（1，+∞）C.（12，+∞）D.（14，+∞）

Question

函数f（x）=x|x|．若存在x∈[1，+∞），使得f（x-2k）-k<0，则k的取值范围是（　　）

A. （2，+∞）

B. （1，+∞）

C. （

(1)/(2)，+∞）

D. （

(1)/(4)，+∞）

Answer 1

根据题意，x∈[1，+∞）时，x-2k∈[1-2k，+∞）；
①当1-2k≤0时，解得k≥(1)/(2)；存在x∈[1，+∞），使得f（x-2k）-k<0，
即只要f（1-2k）-k<0即可；
∵1-2k≤0，∴f（1-2k）=-（1-2k）²，
∴-（1-2k）²-k<0，整理得-1+4k-4k²-k<0，即4k²-3k+1>0；
∵△=（-3）²-16=-7<0，
∴不等式对一切实数都成立，∴k≥(1)/(2)；
②当1-2k>0时，解得k<(1)/(2)；
存在x∈[1，+∞），使得f（x-2k）-k<0，
即只要f（1-2k）-k<0即可；
∵1-2k>0，∴f（1-2k）=（1-2k）²，
∴（1-2k）²-k<0，整理得4k²-5k+1<0，解得(1)/(4)<k<1；
又∵k<(1)/(2)，∴(1)/(4)<k<(1)/(2)；
综上，k∈（(1)/(4)，(1)/(2)）∪[(1)/(2)，+∞）=（(1)/(4)+∞）；
∴k的取值范围是k∈（(1)/(4)，+∞）．
故选：D．