某公司为了实现2015年1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的

Question

某公司为了实现2015年1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y₁=0.025x，y₂=1.003^x，y₃=log₇x+1，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？说明理由．（参考数据：1.003⁶⁰⁰≈6，7⁴=2401）

Answer 1

由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%
（1）y=0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；…（2分）
（2）y=1.003^x，易知满足①，但当x＞600时，y＞6不满足公司要求；…（4分）
（3）y₃=log₇x+1易知满足①，
当x∈[10，1000]时，y₃≤log₇1000+1＜log₇2401+1＜5，满足②，…（7分）
对于③，设F(x)＝lo

g

x 7

+1−25%x，F′（x）=(1)/(xln7)−(1)/(4)≤(1)/(10ln7)-(1)/(4)＜0，F_max（x）=F（10）＜0，满足条件③．…（11分）
所以，只有y₃=log₇x+1满足题意．…（12分）