（2010•湖南）给出下面的数表序列：其中表n（n=1，2，3…）有n行，第1行的n个数是1，3，5，…2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．（I）写出表4，验证表4各行中数的

Question

（2010•湖南）给出下面的数表序列：

其中表n（n=1，2，3 …）有n行，第1行的n个数是1，3，5，…2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；
（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12…，记此数列为{b_n}求和：(b3)/(b1b2)+(b4)/(b2b3)+…(bn+2)/(bnbn+1)（n∈N⁺）

Answer 1

（I）表4为
1   3   5   7
4   8  12
12  20
32
它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列
将这一结论推广到表n（n≥3），即
表n（n≥3）各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．
（II）表n的第1行是1，3，5，…，2n-1，其平均数是(1+3+5+…+(2n−1))/(n)=n
由（I）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列（从而它的第k行中数的平均数是
n•2^k-1），于是，表中最后一行的唯一一个数为b_n=n•2^n-1．
因此
(bk+2)/(bkbk+1)=((k+2)2k+1)/(k•2k−1•(k+1)•2k)=(k+2)/(k(k+1)•2k−2)=(2(k+1)−k)/(k(k+1)•2k−2)=(1)/(k•2k−3)−(1)/((k+1)•2k−2)（k=1，2，…，n）
故
(b3)/(b1b2)+(b4)/(b2b3)+…+(bn+2)/(bnbn+1)=（(1)/(1×2−2)-(1)/(2×2−1)）+（(1)/(2×2−1)-(1)/(3×20)）+…+[(1)/(n×2n−3)-(1)/((n+1)×2n−2)]
=<

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问题解析

（1）根据表1，表2，表3的规律可写出表4，然后求出各行的平均数，可确定等比数列的首项和公比，进而推广到n．
（2）先求出表n的首项的平均数，进而可确定它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列，进而得到表中最后一行的数b_n=n•2^n-1，再化简通项

(bk+2)/(bkbk+1)，最后根据裂项法求和．

名师点评

本题考点：

数列的求和；等比数列的性质．

考点点评：

本题主要考查数列求和和等比数列的性质．数列求和是高考的必考点，一般有公式法、裂项法、错位相减法等，都要熟练掌握．

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