定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（x）=f（x）+f（y）,且f(x)是区间（0,正无穷大）上的递增函数（1）求f（1）、f（-1）的值（2）求证f（-x）=f（x）（3）解不等式f（2）+f（x-0.5）小于等于

Question

定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（x）=f（x）+f（y）,且f(x)是区间（0,正无穷大）上的递增函数
（1）求f（1）、f（-1）的值
（2）求证f（-x）=f（x）
（3）解不等式f（2）+f（x-0.5）小于等于0

Answer 1

函数f（x）满足f（x）=f（x）+f（y）,这个条件好像有问题
我在条件f（xy）=f（x）+f（y）下解一下这个题目吧
（1）令x=1,y=1；易得f（1）=0
又f（1）=f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0,所以f（-1）=0
（2）f（-x）=f[（-1）×x]=f(-1)+f(x)=0+f(x)=f(x)
（3）f（2）+f（x-0.5）=f[2(x-0.5)]≤0
由（2）知函数为偶函数,且在（0,正无穷大）上递增,则在（负无穷大,0）上递减
并且由（1）知f(1)=f(-1)=0
所以0＜2(x-0.5)≤1或者-1≤2(x-0.5)＜0
解得0≤x≤1且x≠0.5