数1，3，6，10，15，21…，这些数量的石子，都可以排成三角形，像这样的数称为三角形数．如图所示：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成

Question

数1，3，6，10，15，21…，这些数量的石子，都可以排成三角形，像这样的数称为三角形数．如图所示：

将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a_n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b_n}．可以推测：
（Ⅰ）b₂₀₁₄是数列{a_n}中的第______项；   
（Ⅱ）b_2k-1=

(5k(5k−1))/(2)

(5k(5k−1))/(2)

．（用k表示）．

Answer 1

（Ⅰ）三角形数是从l开始的连续自然数的和，得a_n=(n(n+1))/(2)n∈N^*；
被5整除的数是5、10、15、20，…，第i个数是5i，i∈N^*；
求出能同时满足两个式子的数，组成数列{b_n}：10，15，45，55，…，∴(n(n+1))/(2)=5i
∴n（n+1）=10i
∴n=4，5，9，10，14，15，19，20，…；
又∵2014÷4=503…余数是2，
∴b₂₀₁₄=503×10+5=5035；
（Ⅱ）{b_2k-1}：10，45，105，190，…；
∴b_2k-1=(5k(5k−1))/(2)．
故答案为：5035，(5k(5k−1))/(2)．