求行列式:第一行:α+β,α,0…0,0;第二行:β,α+β,α…0,0;……倒数第二行：0,0,0…α+β,α；最后一行：0,0,0…β,α+β,

Question

求行列式:第一行:α+β,α,0…0,0;第二行:β,α+β,α…0,0;……倒数第二行：0,0,0…α+β,α；最后一行：0,0,0…β,α+β,

Answer 1

设原式 = Dn =
α+β α 0 … 0 0
β α+β α … 0 0
0 β α+β … 0 0
…………………………
0 0 0 … α+β α
0 0 0 … β α+β
按第一行展开得
Dn = (α+β)*D - αβ*D
此即,
Dn - αD = β*(D - αD) = β²*(D - αD)
=……= β^(n-2) * (D2 - αD1)
而,D2 = (α+β)² - αβ,D1=α+β
即,D2 - αD1 = (α+β)² - αβ - α(α+β) = β²
于是,
Dn - αD = β^(n-2) * β² = β^n
将n=2,3,……,n代入上式可得一系列等式为
Dn - αD = β^n
D - αD = β^(n-1)
……………………
D2 - αD1 = β²
整理得,
Dn - α^(n-1) *D1 = β^n + αβ^(n-1) + α²β^(n-2) + …… + α^(n-2)β²
故,
Dn = β^n + αβ^(n-1) + α²β^(n-2) + …… + α^(n-2)β² + α^(n-1)β + α^n
当α = β时,Dn = (n+1)α^n
当α ≠ β时,Dn = 【β^(n+1) - α^(n+1)】/(β - α)