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某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小三角形构成,小三角形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小三角

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某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小三角形构成,小三角形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小三角形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小三角形.由图形知f(1)=1,f(2)=3,f(3)=6
(1)求出f(5);
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵f(1)=1,
f(2)=1+2=3,
f(3)=1+2+3=6
f(4)=1+2+3+4=10
∴f(5)=1+2+3+4+5=15,
(2)由(1)中,
f(2)-f(1)=2,
f(3)-f(2)=3,
f(4)-f(3)=4,
f(5)-f(4)=5,

归纳可得f(n+1)-f(n)=n+1,
∴f(n)=f(n-1)+n=f(n-2)+n+(n-1)=…=n+(n-1)+…+2+1=
n(n+1)
2
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