已知函数f(x)＝12e2x−e(ex+e−x)−x．（1）求函数f（x）的极值．（2）是否存在正整数a，使得方程f(x)＝f(−a)+f(a)2在区间[-a，a]上有三个不同的实根，若存在，试确定a的值；若不存在，请说明理

Question

已知函数f(x)＝(1)/(2)e2x−e(ex+e−x)−x．
（1）求函数f（x）的极值．（2）是否存在正整数a，使得方程f(x)＝(f(−a)+f(a))/(2)在区间[-a，a]上有三个不同的实根，若存在，试确定a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）由题意得f′（x）=e2x-e（ex-e-x）-（12分）=1ex(ex−e)(ex−1)(ex+1)，（3分）则当ex＜1或ex＞e即x＜0或x＞1时f′（x）＞0，当1＜ex＜e即0＜x＜1时f′（x）＜0，故函数f（x）在（-∞，0）与（1，+∞）上为增函...