已知质数p、q使得表达式2p+1q及2q−3p都是自然数，试确定p2q的值．

Question

已知质数p、q使得表达式(2p+1)/(q)及(2q−3)/(p)都是自然数，试确定p²q的值．

Answer 1

先设p≥q，则有1≤(2q−3)/(p)=2×(q)/(p)-(3)/(p)＜2，于是只能(2q−3)/(p)=1，即p=2q-3，
而这时(2p+1)/(q)=(4q−5)/(q)=4-(5)/(q)，要使(2p+1)/(q)为自然数，只能q=5，从而p=7，
再设p＜q，这时1≤(2p+1)/(q)=2×(p)/(q)+(1)/(q)＜3，于是有下面两种情况：
①(2p+1)/(q)=1，q=2p+1，此时(2q−3)/(p)=(4p−1)/(p)，
解得p=1，不合题意；
②(2p+1)/(q)=2，2p+1=2q，左边为奇数，右边为偶数，矛盾．
故p²q=7²×5=245．
故答案为：245．