设Ω=[0，1]×[0，1]×[0，1]是R3中的立方体，P是实数，判断广义积分∭Ω1(x2+y2+z2)p2dxdydz的敛散性．

Question

设Ω=[0，1]×[0，1]×[0，1]是R³中的立方体，P是实数，判断广义积分

∭

Ω

(1)/((x2+y2+z2)(p)/(2))dxdydz的敛散性．

Answer 1

设Ω₁={(x，y)|x2+y2+z2≤(1)/(2)}，
则(1)/((x2+y2+z2)(p)/(2))在Ω\Ω₁上可积，
故只需考虑其在Ω₁上是否可积即可．
由于

∭

Ω1

(1)/((x2+y2+z2)(p)/(2))dxdy
=

∫

2π 0

dθ

∫

π 0

dφ

∫

1 0

r−(p)/(2)r2sinφdr
=4π

∫

1 0

r2−(p)/(2)dr，
当2−(p)/(2)＞−1，即p＜6时，
积分收敛．
综上，当p＜6时，广义积分

∭

Ω

(1)/((x2+y2+z2)(p)/(2))dxdydz收敛，
当p≥6时，广义积分

∭

Ω

(1)/((x2+y2+z2)(p)/(2))dxdydz发散．