如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足y=Asin（ωx+φ）+b．（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式；（3）如果一天24小时内的温度均近似符合该函数关

Question

如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足y=Asin（ωx+φ）+b．
（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式；
（3）如果一天24小时内的温度均近似符合该函数关系式，求一天中温度不小于25℃的时间有多长？

Answer 1

（1）由图知，这段时间的最大温差为30°-10°=20°；
（2）∵b=(30+10)/(2)=20，A=(30−10)/(2)=10，又(1)/(2)T=14-6=8，
∴T=16=(2π)/(ω)，
∴ω=(π)/(8)，
∴这段曲线的函数解析式为y=10sin（(π)/(8)x+φ）+20，
又该曲线过点P（10，20），
∴(π)/(8)×10+φ=2kπ（k∈Z），
∴φ=2kπ-(5π)/(4)（k∈Z），不妨令k=1，得φ=(3π)/(4)，
∴这段曲线的函数解析式为y=10sin（(π)/(8)x+(3π)/(4)）+20（6≤x≤14）；
（3）由10sin（(π)/(8)x+(3π)/(4)）+20≥25得：sin（(π)/(8)x+(3π)/(4)）≥(1)/(2)，
∴(π)/(6)+2kπ≤(π)/(8)x+(3π)/(4)≤(5π)/(6)+2kπ（k∈Z），
∴16k-(14)/(3)≤x≤(2)/(3)+16k（k∈Z），又6≤x≤14，
∴16-(14)/(3)≤x≤14，即(34)/(3)≤x≤14．
∴一天中温度不小于25℃的时间有14-(34)/(3)=(8)/(3)小时．