如图所示，在水平轨道右侧安放半径为R=0.2m的竖直圆形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为L=1m，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然状态．质量为m=1k

Question

如图所示，在水平轨道右侧安放半径为R=0.2m的竖直圆形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为L=1m，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然状态．质量为m=1kg的小物块A（可视为质点）从轨道右侧以初速度v₀=2√(3) m/s冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧并被弹簧以原速率弹回，经水平轨道返回圆形轨道．物块A与PQ段间的动摩擦因数μ=0.2，轨道其他部分摩擦不计，重力加速度g=10m/s²．求：

（1）物块A与弹簧刚接触时的速度大小v₁；
（2）物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度h₁；
（3）调节PQ段的长度L，A仍以v₀从轨道右侧冲上轨道，当L满足什么条件时，物块A能第一次返回圆形轨道且能沿轨道运动而不脱离轨道．

Answer 1

（1）设物块A与弹簧刚接触时的速度大小为v₁，物块从开始运动到P的过程，由动能定理，可得：
-μmgL=(1)/(2)mv₁²-(1)/(2)mv₂²；
代入数据解得：v₁=2√(2) m/s…①
（2）物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度为h₁，由动能定理得：
-μmgL-mgh₁=0-(1)/(2)mv₁²
代入数据解得：h₁=0.2m=R，符合实际…②
（3）①若A沿轨道上滑至最大高度h₂时，速度减为0，则h₂满足：
  0<h₂≤R…③
由动能定理得：-2μmgL₁-mgh₂=0-(1)/(2)mv₀²…④
联立③④得：1m≤L₁<1.5 m②若A能沿轨道上滑至最高点，则满足：
 m(v22)/(R)≥mg…⑤
由动能定理得：
-2μmgL₂-mg•2R=(1)/(2)mv₂²-(1)/(2)mv₀²…⑥
联立⑤⑥得：L₂≤0.25 m
综上所述，要使物块A能第一次返回圆形轨道并沿轨道运动而不脱离轨道，L满足的条件是：1m≤L<1.5m或 L≤0.25 m．
答：（1）物块A与弹簧刚接触时的速度大小为2√(2)m/s．
（2）物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度0.2m．
（3）A物块能第一次返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道的条件是：1m≤l<1.5m或 l≤0.25m．