为什么f(z)=z(z上面有一横~)不可导?

Question

为什么f(z)=z(z上面有一横~)不可导?

Answer 1

可以直接验证这个复函数不满足柯西—黎曼条件.
因为函数比较简单,直接根据定义验证也不麻烦.下面直接验证,希望对你理解复变函数的导数有所帮助.
在任一点 z0,如果导数存在,则有
lim(|z|--->0) （ f(z0+z)-f(z0))/z = f'(z0)
设 z0= x0+y0i,z=x+yi,有：
lim(|z|--->0) (x-yi)/(x+yi) -----> f'(z0)
因为这对一切 |z|--->0 必须成立.我们可以看两种特殊情形：
1.y=0,于是
lim(|z|--->0) (x-yi)/(x+yi) = lim(|z|--->0) (x)/(x)=1,即 f'(z0)必须=1
2.x=0,于是
lim(|z|--->0) (x-yi)/(x+yi) = lim(|z|--->0) (-yi)/(yi)=-1,即 f'(z0)必须=-1
由上知道,不可能存在一个 f'(z0) 使得对一切|z|--->0,lim(|z|--->0) （ f(z0+z)-f(z0))/z = f'(z0) 都成立.所以 f(z)=z(z上面有一横~)不可导