已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1，若函数f（x）没有零点，求实数k的取值范围．

Question

已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1，若函数f（x）没有零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

采用图象分析法：

设g（x）=ln（x-1）（x＞1）
h（x）=k（x-1）-1 （x＞1）
∵g（x）=ln（x-1）图象固定，且h（x）过定点（1，-1），垂直于x轴，则k趋于无穷大，不用限定k，
∴g′（x）=(1)/(x−1)，h′（x）=k
令切点为x=a时，两曲线在x=a应有相同斜率，
则有g′（a）=(1)/(a−1)=h′（a）=k
∴k=(1)/(a−1)
两曲线相切于x=a，则x=a时，两函数y值应该相等即h（a）=g（a）
∵h（a）=k（x-1）-1=(1)/(a−1)•(a−1)−1＝0，
g（a）=ln（a-1）=h（a）=0，则a=2，
∴k=(1)/(a−1)=1，
∴k的取值范围为k＞1，