已知点P(1，−32)在椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上，椭圆C的左焦点为（-1，0）（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过点T（m，0）交椭圆C于M、N两点，AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN∥AB，问是否存在

Question

已知点P(1，−(3)/(2))在椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）上，椭圆C的左焦点为（-1，0）
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过点T（m，0）交椭圆C于M、N两点，AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN∥AB，问是否存在正数m，使(|AB|2)/(|MN|)为定值？若存在，请求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）椭圆C的左焦点为（1，0），∴c=1，椭圆C的右焦点为（-1，0）
可得2a＝√((1+1)2+(−(3)/(2))2)+√((1−1)2+(−(3)/(2))2)＝(5)/(2)+(3)/(2)＝4，解得a=2，…（2分）
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴椭圆C的标准方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1…（4分）
（2）设直线l：y=k（x-m），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1

y＝k(x−m)

得（3+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-12=0，
∴x₁+x₂=(8k2m)/(3+4k2)，x₁x₂=(4k2m2−12)/(3+4k2)…（7分）
∴|MN|=(√(1+k2)•√(16[(12−3m2)k2+9]))/(3+4k2)…（10分）
由

(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1

y＝kx

得x2＝(12)/(3+4k2)
设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
得|AB|＝√(1+k2)|x3−x4|得|AB|2＝(48(1+k2))/(3+4k2)…（12分）
而64k⁴m²-16（3+4k²）（k²m²-3）=16[（12-3m²）k²+9]
∴当12-3m²=9即m=1时(|AB|2)/(|MM|)＝4为定值，当k不存在时，定值也为4，
∴m=1…（15分）