如图已知ABC是长轴长为4的椭圆上的三点点A是长轴的一个端点BC过椭圆中心O且·=0|BC|=2|AC|.(1)求椭圆方程;(2)过点D(02)的直线l与椭圆相交于不同的两点MN且M在DN之间设

Question

如图 已知A B C是长轴长为4的椭圆上的三点 点A是长轴的一个端点 BC过椭圆中心O 且·=0 |BC|=2|AC|.

(1)求椭圆方程;

(2)过点D(0 2)的直线l与椭圆相交于不同的两点M N且M在D N之间 设=λ 求实数λ的取值范围.

Answer 1

解:(1)设A(2 0) 则椭圆方程为=1.                                                  

∵O为椭圆中心 

∴由对称性知|OC|=|OB|.

又∵·=0 ∴AC⊥BC.

又∵|BC|=2|AC| ∴|OC|=|AC|.

∴△AOC为等腰直角三角形.                                                                                  

∴点C的坐标为(1 1).

∴点B的坐标为(-1 -1).

将C的坐标(1 1)代入椭圆方程得b²=                                                                   

则求得椭圆的方程为=1.                                                                          

(2)∵M在D N之间 ∴λ＞0.                                                                              

设M(x₁ y₁) N(x₂ y₂) 则x₁= y₁=                                                    

∵M N在椭圆上 ∴x₁²+3y₁²=4 x₂²+3y₂²=4.

∴()²+()²=4λ²(x₂²+3y₂²)+12λy₂+12=4λ²+8λ+4 

即3λy₂+2=2λy₂=.                                                                                    

∴-≤y₂≤.

∴-≤≤.                                                                                

解得λ≥ 

∴实数λ的取值范围是［ +∞).