已知函数（其中n为常数，n∈N*），将函数fn（x）的最大值记为an，由an构成的数列{an}的前n项和记为Sn．（Ⅰ）求Sn；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，总存在x∈R+使，求a的取值范围；（Ⅲ）比较与an

Question

已知函数（其中n为常数，n∈N^*），将函数f_n（x）的最大值记为a_n，由a_n构成的数列{a_n}的前n项和记为S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，总存在x∈R⁺使，求a的取值范围；
（Ⅲ）比较与a_n的大小，并加以证明．

Answer 1

（Ⅰ），（2分）令fn′（x）＞0，则x＜en+1-n．∴fn（x）在（-n，en+1-n）上递增，在（en+1-n，+∞）上递减．（4分）∴当x=en+1-n时，（5分）即，则．（6分）（Ⅱ）∵n≥1，∴en+1递增，n（n+1）递增，∴递减．∴，...