已知函数f（x）=ax2-|x+1|+2a（a是常数且a∈R）（1）若函数f（x）的一个零点是1，求a的值；（2）求f（x）在[1，2]上的最小值g（a）；（3）记A={x∈R|f（x）＜0}若A=φ，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=ax²-|x+1|+2a（a是常数且a∈R）
（1）若函数f（x）的一个零点是1，求a的值；
（2）求f（x）在[1，2]上的最小值g（a）；
（3）记A={x∈R|f（x）＜0}若A=φ，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）的一个零点是1，
∴f(1)＝a−2+2a＝0∴a＝(2)/(3)．
（2）f（x）=ax²-x+2a-1，x∈[1，2]，
①当a=0时g（a）=f（2）=-3．
②当 a＜0时，对称轴为x＝(1)/(2a)＜0g（a）=f（2）=6a-3．
③当a＞0时，抛物线开口向下，对称轴x=(1)/(2a)，
若x=(1)/(2a)＜1，即a＞(1)/(2)时，g（a）=f（1）=3a-2．
若1≤(1)/(2a)≤2，即(1)/(4)≤a≤(1)/(2)时，g（a）=f（(1)/(2a)）=2a-1-(1)/(4a)，
若(1)/(2a)＞2，即0＜a＜(1)/(4)时，g（a）=f（2）=6a-3．
综上：g（a）=

6a−3，a＜(1)/(4)

2a−1−(1)/(4a)，(1)/(4)≤a≤(1)/(2)

3a−2．a＞(1)/(2)

，
（3）由题意知：不等式f（x）＜0无解
即 ax²-|x+1|+2a≥0恒成立，
即a≥(|x+1|)/(x2+2)对任意x∈R恒成立，
令t=x+1，
则a≥(|t|)/(t2−2t+3)＝g(t)对任意t∈R恒成立，
①当t=0时g（0）=0，
②当t＞0时g(t)max＝g(√(3))＝(√(3)+1)/(4)，
③当t＜0时g(t)min＝g(−√(3))＝(√(3)−1)/(4)，
∴a≥g（t）_max，
即a≥(√(3)+1)/(4)．