定积分求面积例一求y^2=2x与y=x-4时图形会分为x轴上下两部分以x积分要分为两个区间相加例二y=co...定积分求面积例一求y^2=2x与y=x-4时图形会分为x轴上下两部分以x积分要分为两个区间相

Question

定积分求面积 例一 求y^2=2x与y=x-4 时图形会分为x轴上下两部分 以x积分要分为两个区间相加 例二y=co...
定积分求面积 例一 求y^2=2x与y=x-4 时图形会分为x轴上下两部分 以x积分要分为两个区间相加 例二y=cosx与y=( 3/2) pai-x及x=0 图形也分x轴上下两部分也以x积分 为什么就不用分两个区间相加?

Answer 1

你对积分概念的理解有些问题,积分图像是否要分成几部分的加和,不是以x轴为分界线的,而是看函数值对于积分变量是否是单值的,即对应于同一个积分变量,是否只有唯一的函数值与其对应.
以第一个图像为例,同样是求阴影部分的面积,若用x做积分变量,则就要分两部分,因为对于抛物线y^2=2x,一个x值有两个y值与之对应,若不分区,y的积分会正负抵消,所得结果与实际相比会少一部分.但若以y作为变量,就可以不分区,因为一个y值只有一个x值与之对应.
同样理由分析第二张图,以x做积分变量时,上下边界的两个函数都是单值的,可以直接相减,不用分区；但若想以y作为积分变量,对于同一个y,cosx在y<0时就不是单值的,这时要以x=π为界分成两块区域积分并加和.
至于到底是相加还是相减,一般是以区域边界较大的函数减去较小的函数,这样所得的结果才是正的,积分面积也才是正的；通俗的说,就是一般用上边减下边,右边减左边