设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：①f（x）=2-|x|；②f（x）=2sin2x-3sin2x-1；③f（x）=xx2−x+3；

Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：
①f（x）=2-|x|；  
②f（x）=2sin²x-√(3)sin2x-1；  
③f（x）=(x)/(x2−x+3)；
④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．
其中是“倍约束函数”的有（　　）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

对于①，f（x）=2-|x|≤2，不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，故①不是“倍约束函数”；  
对于②，f（x）=2sin²x-√(3)sin2x-1=-cos2x-√(3)sin2x=-2sin（2x+(π)/(6)），|f（x）|≤2，
故存在常数M=2，使|f（x）|≤2|x|对一切实数x均成立，故②是“倍约束函数”；
对于③，f（x）=(x)/(x2−x+3)，当x=0时，f（x）=0；
当x＞0，0＜f（x）=(1)/(x+(3)/(x)−1)≤(1)/(2√(3)−1)=(2√(3)+1)/(11)；
当x＜0时，0＞f（x）=(1)/(x+(3)/(x)−1)≥(1)/(−2√(3)−1)；
故存在常数M=(2√(3)+1)/(11)，使|f（x）|≤(2√(3)+1)/(11)|x|对一切实数x均成立，故③是“倍约束函数”；  
对于④，依题意，曲线y=f（x）上任意一点的切线的斜率k≤2，不妨令f（x）=2x，显然不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，故④不是“倍约束函数”；  
综上所述，是“倍约束函数”的有2个，
故选：B．