如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠BAD+∠C=180°,求证：AD=CD

Question

如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠BAD+∠C=180°,求证：AD=CD

Answer 1

证明：

不妨设BC＞AB（BC＜AB同理证明）
方法一：
作DM⊥BC,DN⊥BA
因为BD平分∠ABC
所以DM＝DN
因为∠BAD＋∠DAN＝180度
∠BAD＋∠DAN＝180度
所以∠C＝∠DAN
所以△CDM≌△ADN（AAS）
所以AD＝CD
方法二：
在BC上取BE＝AB,连接DE
因为因为BD平分∠ABC
所以∠ABD＝∠CBD
又因为BD＝BD
所以△ABD≌△EBD（SAS）
所以AD＝ED,∠A＝∠BED
因为∠CED＋∠BED＝180度
所以∠A＋∠CED＝180度
因为∠A＋∠C＝180度
所以∠CED＝∠C
所以CD＝ED
所以AD＝CD