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设A为正定实对称矩阵,证明:A中绝对值最大者必位于A的对角线上.

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设A为正定实对称矩阵,证明:A中绝对值最大者必位于A的对角线上.
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答案和解析
证明:反证法,假设绝对值最大的不在主对角线上,而是在第i行,第j列,不妨设i<j
考虑二阶主子式,有
.
aiiaij
ajiajj
.
=aiiajj−aijaji=aiiajj−(aij)2<0
由于正定矩阵的二阶主子式都是大于0的,矛盾
因此假设不成立
故A中绝对值最大者必位于A的对角线上.
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