一道数学作业题,求解答.越快越好.要有过程.已知椭圆x²／a²+y²/b²=1上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两断点B1,B2的连线分别与X轴交于P,Q两点,O为椭圆的中心,求证：|OP|*|OQ|为定

Question

一道数学作业题,求解答.越快越好.要有过程.
已知椭圆x²／a²+y²/b²=1上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两断点B1,B2的连线分别与X轴交于P,Q两点,O为椭圆的中心,求证：|OP|*|OQ|为定值.

Answer 1

设M点的坐标为x=acosθ,y=bsinθ,B1（0,b）,B2(0,-b),M,B1,P与M,B2,Q三点共线,得
[（bsinθ-b）/acosθ]=b/(-m)及[（bsinθ+b）/acosθ]=-b/(-n),于是
[（bsinθ-b）/acosθ][（bsinθ+b）/acosθ]=b/(-m)×b/n,得(b²sin²θ-b²)/(a²cos²θ)=b²/(-mn)
因此|OP|×|OQ|=|mn|=a²