如图所示，光滑轨道ABCD是大型游乐设备过山车轨道的简化模型，最低点B处的入、出口靠近但相互错开．C是半径为R=1.8m的圆形轨道的最高点，BD部分水平，末端D点与右端的水平传送带DE无缝

Question

如图所示，光滑轨道ABCD是大型游乐设备过山车轨道的简化模型，最低点B处的入、出口靠近但相互错开．C是半径为R=1.8m的圆形轨道的最高点，BD部分水平，末端D点与右端的水平传送带DE无缝连接，传送带长度DE=L₁=3m，传送带以恒定速度v=5m/s逆时针转动，传送带右端E点与粗糙水平面EQ无缝连接，粗糙水平面Q处的竖直墙壁上固定一个水平缓冲弹簧，弹簧处于原长状态时，左端P点到E的水平距离EP=L₂=4m，现将一质量为m=1kg的小滑块从轨道AB上某一固定位置A由静止释放，A点距离水平面BD的高度为h=4.8m，滑块能通过C点后再经D点滑上传送带，运动至水平轨道EQ并压缩弹簧，被弹簧反弹进入传送带运动并恰好能到达圆轨道圆心O的等高点G．已知小滑块与传送间的动摩擦因数为μ₁=0.25，与粗糙水平轨道间的动摩擦因数为μ₂=0.15，g=10m/s²，求：

（1）滑块经过最高点C处时，对轨道的压力；
（2）弹簧的最大压缩量L₃和最大弹性势能E_Pm；
（3）小滑块由A点开始运动到返回圆轨道G点过程中，通过传送带时产生的摩擦热Q．

Answer 1

（1）滑块从A到C过程，由机械能守恒定律得：
mg（h-2R）=(1)/(2)mv_C²，
代入数据解得：v_C=2√(6)m/s，
在C点，由牛顿第二定律得：mg+F=m(v2C)/(R)，
解得：F≈3.3N，由牛顿第三定律可知，
滑块对轨道的压力：F′=F=3.3N，方向：竖直向上；
（2）从D到G过程，由机械能守恒定律得：(1)/(2)mv_D²=mgR，
解得：v_D=6m/s>v=5m/s，滑块在传送带上一直减速运动，从A到弹簧压缩最短过程，由能量守恒定律得：
mgh=μ₁mgL₁+μ₂mg（L₂+L₃）+E_pm，
滑块返回过程，由能量守恒定律得：
E_pm=μ₁mgL₁+μ₂mg（L₂+L₃）+(1)/(2)mv_D²，
解得：L₃=1m，E_pm=33J；
（3）滑块在传送带上的加速度：
a=(μ1mg)/(m)=μ₁g=2.5m/s²，
滑块从A到D过程，由机械能守恒定律得：
mgh=(1)/(2)mv₀²，解得：v₀=4√(6)m/s，
从D到E过程：L₁=v₀t₁-(1)/(2)at₁²，t₁=0.32s，
滑块从E到D过程：v_E²-v_D²=2aL₁，v_E=√(51)m/s，
运动过程：t₂=(vE-vD)/(a)=0.456s，
滑块在传送带上运动时传送带的位移：
s₁=vt₁=5×0.32=1.6m，s₂=vt₂=5×0.456=2.28m，
整个过程滑块相对于传送带的位移：
△x=L₁+s₁+L₁-s₂=5.32m，
滑块通过传送带时产生的摩擦热：
Q=μ₁mg△x=0.25×1×10×5.32=13.3J；
答：（1）滑块经过最高点C处时，对轨道的压力大小为3.3N，方向：竖直向上；
（2）弹簧的最大压缩量L₃为1m，最大弹性势能E_Pm为33J；
（3）小滑块由A点开始运动到返回圆轨道G点过程中，通过传送带时产生的摩擦热Q为13.3J．