矩阵分析中的一个题,若A,B都是正规矩阵,且AB=BA,证：AB和BA都是正规矩阵.

Question

矩阵分析中的一个题,若A,B都是正规矩阵,且AB=BA,证：AB和BA都是正规矩阵.

Answer 1

一个矩阵A是正规阵的充要条件是存在酉阵U,使得U*AU是对角阵.其中U*是U的共轭转置.
于是存在酉阵U,V使得U*AU=D,V*BV=J,其中D,J是对角阵,且可记D＝diag(D1,D2,...,Dk),其中Di与Dj的对角元互不相同,Di＝aiE,E是单位阵.由AB＝BA知道
D(U*VJV*U)=(U*VJV*U)D,将U*VJV*U类似分块可知U*VJV*U是块对角阵,且对角块均可酉对角化.
于是D(U*VJV*U)=(U*VJV*U)D可对角化,即AB＝U(DU*VJV*U)U*可对角化,是正规阵.BA类似证明.