对集合定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减次序重新排列该子集中的元素然后从最大数开始交替减,加后合计的数,如{1,2,4,6},交替和是6-4+2-1=3,则{1,2,3,...,n}的所有子集的“交替和”

Question

对集合定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减次序重新排列该子集中的元素然后从最大数开始交替减,加后合计的数,如{1,2,4,6},交替和是6-4+2-1=3,则{1,2,3,...,n}的所有子集的“交替和”的总和为多少?

Answer 1

s=2^(n-1)*n
记I={1,2,3,...,n}
则I的子集分为如下两类：包含n的子集；不包含n的子集,这两种集合的数量都是2^(n-1).
设A为所有不包含n的子集的集合,B为所有包含n的子集的集合,可以建立一个从A到B的一一映射如下：
f(X) = X U {n} X属于A.
记交替和的运算为g,设X中的数从大到小排序为：
x1,x2,x3,...
则g(X) = x1-x2+x3-...
而n是f(X)中最大的数,因此
g(f(X)) = n - x1 + x2 - x3 + ...
于是得到：
g(X) + g(f(X)) = n .1
这里X是A中的任意元素,当X遍历A时,X和f(X)就遍历了I的所有子集,而我们共可以得到2^(n-1)个象1的等式,把这些所有等式加起来,左边就是所有I的子集的交替和的总和,右边自然就是.答案:)