若不等式|x-2a|≥12x+a-1对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Question

若不等式|x-2a|≥(1)/(2)x+a-1对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

不等式|x-2a|≥(1)/(2)x+a-1可化为|x-2a|-(1)/(2)x-a+1≥0，
令f（x）=|x-2a|-(1)/(2)x-a+1，
则不等式|x-2a|≥(1)/(2)x+a-1对x∈R恒成立等价于f（x）≥0，
∵f(x)＝

(1)/(2)x−3a+1，x＞2a

a−(3)/(2)x+1，x≤2a

，
∴f（x）在（-∞，2a）上递减，在（2a，+∞）上递增，
∴f（x）≥f（2a）=-2a+1≥0，
∴a≤(1)/(2)，
∴实数a的取值范围是（-∞，(1)/(2)]．