已知函数(x≠0，常数a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在[2，+∞)上为增函数，求实数a的取值范围．

Question

已知函数(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在[2，+∞)上为增函数，求实数a的取值范围．____

Answer 1

【分析】(1)x²为偶函数，欲判函数f(x)=x²+的奇偶性，只需判定的奇偶性，讨论a判定就可．
\n(2)处理函数的单调性问题通常采用定义法好用．

(1)当a=0时，f(x)=x²
对任意x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，有f(-x)=(-x)²=x²=f(x)，
\n∴f(x)为偶函数．
\n当a≠0时，f(x)=x²+(x≠0，常数a∈R)，
\n取x=±1，得f(-1)+f(1)=2≠0，
\nf(-1)-f(1)=-2a≠0，
\n∴f(-1)≠-f(1)，f(-1)≠f(1)．
\n∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
\n(2)设2≤x₁<x₂，
\nf(x₁)-f(x₂)==[x₁x₂(x₁+x₂)-a]，
\n要使函数f(x)在x∈[2，+∞)上为增函数，
\n必须f(x₁)-f(x₂)<0恒成立．
\n∵x₁-x₂<0，x₁x₂>4，
\n即a<x₁x₂(x₁+x₂)恒成立．
\n又∵x₁+x₂>4，∴x₁x₂(x₁+x₂)>16，
\n∴a的取值范围是(-∞，16]．

【点评】单调性的证明步骤：
\n取值(在定义域范围内任取两个变量，并规定出大小)
\n做差(即f(x₁)-f(x₂)，并且到“积”时停止)
\n判号(判“积”的符号)
\n结论(回归题目)