已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2-x，a∈R．（Ⅰ）当a=14时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）是否存在实数b∈（1，2），使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b）？若存在，求实数a的取值范

Question

已知函数f（x）=ln（x+1）+ax²-x，a∈R．
（Ⅰ）当a=(1)/(4)时，求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）是否存在实数b∈（1，2），使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b）？若存在，求实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）当a＝(1)/(4)时，f（x）=ln(x+1)+(1)/(4)x2−x，
则f′(x)＝(1)/(x+1)+(1)/(2)x−1，化简得f′(x)＝(x(x−1))/(2(x+1))，（x＞-1）
∴函数在（-1，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且f（0）=0，f（1）=ln2−(3)/(4)，
∴函数y=f（x）在x=1处取到极小值为ln2-(3)/(4)，在x=0处取到极大值为0．
（Ⅱ）由题意f′（x）=(x(2ax−(1−2a)))/(x+1)，
（1）当a≤0时，函数f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
此时，不存在实数b∈（1，2）使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b）；
（2）当a＞0时，令f′（x）=0，有x=0或x=(1)/(2a)−1，
①当a=(1)/(2)时，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，显然符合题意；
②当(1)/(2a)−1＞0即0＜a＜(1)/(2)时，函数f（x）在（-1，0）和（(1)/(2a)−1，+∞）上单调递增，在（0，(1)/(2a)−1）上单调递减，
此时由题，只需f（1）＞0，解得a＞1-ln2，又1-ln2＜(1)/(2)，
∴此时实数a的取值范围是1−ln2＜a＜(1)/(2)
③当(1)/(2a)−1＜0即a＞(1)/(2)时，函数f（x）在（-1，(1)/(2a)−1）和（0，+∞）上单调递增，在（(1)/(2a)−1，0）上单调递减，
要存在实数b∈（1，2），使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），
则f（(1)/(2a)−1）＜f（1），代入化简得ln2a+(1)/(4a)+ln2−1＞0   （*）
令g(a)＝ln2a+(1)/(4a)+ln2−1(a＞(1)/(2))，因g′(a)＝(1)/(a)(1−(1)/(4a))＞0恒成立，
故恒有g(a)＞g((1)/(2))＝ln2−(1)/(2)＞0，∴a＞(1)/(2)时，（*）式恒成立．
综上，实数a的取值范围是（1-ln2，+∞）．