圆x^2+y^2=1中的xy关系若圆x^2+y^2=1上有一点P(x,y),当该点分别位于一.二.三.四象限时,求x+y;xy的值域.烦请给明详细证明.感激不尽!

Question

圆x^2+y^2=1中的xy关系
若圆x^2+y^2=1上有一点P(x,y),当该点分别位于一.二.三.四象限时,求x+y;xy的值域.烦请给明详细证明.感激不尽!

Answer 1

可设x=cosa,y=sina
第一象限时,a∈(0,π/2)
x+y=sina+cosa
=√2sin(a+π/4)
a∈(0,π/2),则：a+π/4∈(π/4,3π/4)
所以,sin(a+π/4)∈(√2/2,1]
所以,x+y∈(1,√2]
xy=sinacosa=(1/2)sin2a
a∈(0,π/2),则：2a∈(0,π)
所以,sin2a∈(0,1]
所以,xy∈(0,1/2]
第二象限时,a∈(π/2,π)
x+y=sina+cosa
=√2sin(a+π/4)
a∈(π/2,π),则：a+π/4∈(3π/4,5π/4)
所以,sin(a+π/4)∈(-√2/2,√2/2)
所以,x+y∈(-1,1)
xy=sinacosa=(1/2)sin2a
a∈(π/2,π),则：2a∈(π,2π)
所以,sin2a∈[-1,0)
所以,xy∈[-1/2,0)
第三象限时,a∈(π,3π/2)
x+y=sina+cosa
=√2sin(a+π/4)
a∈(π,3π/2),则：a+π/4∈(5π/4,7π/4)
所以,sin(a+π/4)∈[-1,-√2/2)
所以,x+y∈[-√2,-1)
xy=sinacosa=(1/2)sin2a
a∈(π,3π/2),则：2a∈(2π,3π)
所以,sin2a∈(0,1]
所以,xy∈(0,1/2]
第四象限时,a∈(3π/2,2π)
x+y=sina+cosa
=√2sin(a+π/4)
a∈(3π/2,2π),则：a+π/4∈(7π/4,9π/4)
所以,sin(a+π/4)∈(-√2/2,√2/2)
所以,x+y∈(-1,1)
xy=sinacosa=(1/2)sin2a
a∈(3π/2,2π),则：2a∈(3π,4π)
所以,sin2a∈[-1,0)
所以,xy∈[-1/2,0)
祝你开心!希望能帮到你,如果不懂,请追问,祝学习进步!O(∩_∩)O