已知自然数m使二次根式2m-6+40-m有意义，关于x的方程x2-2（2m-3）x+4m2-14m+8=0有两个整数根，求m的值及方程的根．

Question

已知自然数m使二次根式√(2m-6)+√(40-m)有意义，关于x的方程x²-2（2m-3）x+4m²-14m+8=0有两个整数根，求m的值及方程的根．

Answer 1

∵二次根式√(2m-6)+√(40-m)有意义，
∴3≤m≤40，
解方程x²-2（2m-3）x+4m²-14m+8=0，得x=(-b±√(b2-4ac))/(2a)=（2m-3）±√(2m+1)，
∵原方程有两个不相等的整数根，
∴2m+1为完全平方数，
又∵m为整数，且3≤m≤40，2m+1为奇数完全平方数，
∴2m+1=9或25或49或81，解得m=4或12或24或40．
∴当m=4时，x=8-3±√(2×4+1)=5±3，x₁=8，x₂=2；
当m=12时，x=24-3±√(2×12+1)=21±5，x₁=26，x₂=16；
当m=24时，x=48-3±√(2×24+1)=45±7，x₁=52，x₂=38；
当m=40时，x=80-3±√(2×40+1)=77±9，x₁=86，x₂=68．