若函数f(x)＝xx2+2(a+2)x+3a，(x≥1)能用均值定理求最大值，则需要补充a的取值范围是a≥13a≥13．

Question

若函数f(x)＝(x)/(x2+2(a+2)x+3a)，(x≥1)能用均值定理求最大值，则需要补充a的取值范围是

a≥(1)/(3)

a≥(1)/(3)

．

Answer 1

∵f(x)＝(x)/(x2+2(a+2)x+3a)＝(1)/(x+(3a)/(x)+2(a+2))(x≥1)，∴若函数f(x)＝(x)/(x2+2(a+2)x+3a)，(x≥1)能用均值定理求最大值时a满足的条件即为g(x)＝x+(3a)/(x)(x≥1)应用均值定理取得最小值时满足的条件所求．
显然a＞0，由x+(3a)/(x)≥2√(3a)，当且仅当x＝(3a)/(x)，即x＝√(3a)时取“=”；∵x≥1∴√(3a)≥1，∴a≥(1)/(3)．
故答案为：a≥(1)/(3)．