已知实数列{an}满足|a1|=1，|an+1|=q|an|，n∈N+，常数q>1．对任意的n∈N+，有n+1k=1|ak|≤4|an|．设C为所有满足上述条件的数列{an}的集合．（1）求q的值；（2）设{an}，{bn}∈C，m∈N+，且存在n0≤m，

Question

已知实数列{a_n}满足|a₁|=1，|a_n+1|=q|a_n|，n∈N₊，常数q>1．对任意的n∈N₊，有

n+1

k=1

|ak|≤4|an|．设C为所有满足上述条件的数列{a_n}的集合．
（1）求q的值；
（2）设{a_n}，{b_n}∈C，m∈N₊，且存在n₀≤m，使an0≠bn0．证明：

m

k=1

|ak|≠

m

k=1

|bk|；
（3）设集合Am={

m

k=1

ak|{an}∈C}，m∈N₊，求A_m中所有正数之和．

Answer 1

（1）因为，|a_n+1|=q|a_n|，所以，数列{|a_n|}是一个公比为q的等比数列，
所以，由

n+1

k=1

|ak|≤4|an|得化简(1-qn+1)/(1-q)≤4qn-1，
化简得，(1)/(qn-1)≥(q-2)2对任意正整数n都成立，
左边在n无穷大时是无穷小，所以，q=2；
（2）假设l是1，2，3，…，m中满足a_n≠b_n中的最大角标，
则|

m

k=1

ak-

m

k=1

bk|=|

l

k=1

ak-

l

k=1

bk|=|al-bl|-|

l-1

k=1

ak-

l-1

k=1

bk|≥2l-

l-1

k=1

2k=2，
所以，

m

k=1

|ak|≠

m

k=1

|bk|；
（3）显然{a_n}的前m项和是正数，当且仅当a_m>0，
此时a_i（i=1，2，…，m-1）的符号随意，
即{a_n}：±1，±2，±4，…，±2^m-2，2^m-1，
这样的数列共有2^m-1个，
若a_i与b_i符号相反，则进行配对（i=1，2，…，m-1），
于是，A_m中所有元素之和为2^m-1•2^m-1=2^2m-2．