若非零实数m、n满足2m+n=0，且在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0）的展开式中当且仅当常数项是系数最大的项，（1）求常数项是第几项；（2）求ab的取值范围．

Question

若非零实数m、n满足2m+n=0，且在二项式（ax^m+bxⁿ）¹²（a＞0，b＞0）的展开式中当且仅当常数项是系数最大的项，
（1）求常数项是第几项；
（2）求(a)/(b)的取值范围．

Answer 1

（1）设T_r+1=C₁₂^r（ax^m）^12-r（bxⁿ）^r为=C₁₂^ra^12-r b^r x^{m（12-r）+nr}为常数项，------（1分）
则可由

m(12−r)+nr＝0

2m+n＝0，m≠0，n≠0

，--（3分）
解得 r=4，------（5分） 所以常数项是第5项…（7分）
（2）由只有常数项为最大项且a＞0，b＞0，可得

C

4 12

a8b4＞

C

5 12

a7b5

C

4 12

a8b4＞

C

3 12

a9b3

，-----（10分）
即 (12！•a8•b4)/(4!•8!)＞(12!•a7•b5)/(5!•7!)，且 (12！•a8•b4)/(4!•8!)＞(12!•a9•b3)/(3!•9!)．
即5a＞8b，且 9b＞4a，再由a＞0，b＞0 解得(a)/(b)＞(5)/(8) 且<

作业帮用户 2017-10-06 举报

问题解析

（1）求出通项T_r+1=C₁₂^ra^12-r b^r x^{m（12-r）+nr}，由

m(12−r)+nr＝0

2m+n＝0，m≠0，n≠0

，求出r=4，得常数项是第5项．
（2）由只有常数项为最大项且a＞0，b＞0，可得

C

4 12

a8b4＞

C

5 12

a7b5

C

4 12

a8b4＞

C

3 12

a9b3

，由此求得(a)/(b)的取值范围．

名师点评

本题考点：

二项式定理的应用．

考点点评：

本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．

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