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已知A、B是抛物线X2=2PY(P》0)上的两个动点,O为坐标原点,非零向量OA、OB满足|OA+OB|=|OA-OB|求证:直线AB经过一定点
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已知A、B是抛物线X2=2PY(P》0)上的两个动点,O为坐标原点,非零向量OA、OB满足|OA+OB|=|OA-OB|求证:直线AB经过一定点
▼优质解答
答案和解析
非零向量OA、OB满足|OA+OB|=|OA-OB|,\x0d说明以向量OA,OB为邻边作平行四边形,它的两条对角线长相等.\x0d即该四边形是矩形,则OA⊥OB.\x0d设直线AB方程为x=my+n, 与抛物线y=2px联立消去x得:\x0dy-2pmy-2pn=0.\x0d设A(x1,y1),B(x2,y2).则 y1+y2=2pm,y1y2=-2pn.\x0d因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0.\x0d即(my1+n)(my2+n) +y1y2=0.\x0d(m+1)y1y2+mn(y1+y2)+n=0.\x0d∴(m+1) (-2pn)+mn2pm+n=0\x0d∴n-2pn =0,n=2p.\x0d所以直线AB方程x=my+n可化为x=my+2p,\x0d显然直线AB经过定点(2p,0).
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