坡道顶端距水平滑道ab高度为h=0.8m，质量为m1=3kg的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入ab时无机械能损失，放在地面上的小车上表面与ab在同一水平面上，右端紧靠水平滑道的b端，左端紧靠

Question

坡道顶端距水平滑道ab高度为h=0.8m，质量为m₁=3kg的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入ab时无机械能损失，放在地面上的小车上表面与ab在同一水平面上，右端紧靠水平滑道的b端，左端紧靠锁定在地面上的档板P．轻弹簧的一端固定在档板P上，另一端与质量为m₂=1kg物块B相接（不拴接），开始时弹簧处于原长，B恰好位于小车的右端，如图所示．A与B碰撞时间极短，碰后结合成整体D压缩弹簧，已知D与小车之间的动摩擦因数为μ=0.2，其余各处的摩擦不计，A、B可视为质点，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）A在与B碰撞前瞬间速度v的大小？
（2）求弹簧达到最大压缩量d=1m时的弹性势能E_P？（设弹簧处于原长时弹性势能为零）
（3）撤去弹簧和档板P，设小车长L=2m，质量M=6kg，且μ值满足0.1≤μ≤0.3，试求D相对小车运动过程中两者因摩擦而产生的热量（计算结果可含有μ）．

Answer 1

（1）A下滑过程机械能守恒，由机械能守恒定律得：
m1gh=(1)/(2)m1v2，代入数据解得：v=4m/s；
（2）A与B碰撞过程系统动量守恒，以A的初速度方向为正方向，
由动量守恒定律得：m₁v=（m₁+m₂）v₁，代入数据解得：v₁=3m/s；
D压缩弹簧，由能量定恒定律得：(1)/(2)(m1+m2)

v

2 1

=EP+μ(m1+m2)gd，
代入数据解得：E_P=10J；
（3）设D滑到小车左端时刚好能够共速，以向左为正方向，
由动量守恒定律得：（m₁+m₂）v₁=（m₁+m₂+M）v₂，代入数据解得：v₂=1.2m/s，
由能量守恒定律得：μ1(m1+m2)gL=(1)/(2)(m1+m2)

v

2 1

-(1)/(2)(m1+m2+M)

v

2 2

，
代入数据解得：μ₁=0.135，
①当满足0.1≤μ<0.135时，D和小车不能共速，D将从小车的左端滑落，
产生的热量为：Q₁=μ（m₁+m₂）gL，代入数据解得：Q₁=80μJ；
②当满足0.135≤μ≤0.3时，D和小车能共速，
产生的热量为：Q2=(1)/(2)(m1+m2)

v

2 1

-(1)/(2)(m1+m2+M)

v

2 2

，
代入数据解得：Q₂=10.8J；
答：（1）A在与B碰撞前瞬间速度v的大小为4m/s；
（2）求弹簧达到最大压缩量d=1m时的弹性势能E_P为10J．
（3）①当满足0.1≤μ<0.135时，D相对小车运动过程中两者因摩擦而产生的热量为：80μJ；
②当满足0.135≤μ≤0.3时，D相对小车运动过程中两者因摩擦而产生的热量为：10.8J．