油滴从静止开始做自由落体运动,经过多长时间才能进入匀速运动状态?油滴只受重力和空气阻力f=6πrnv(v为油滴的速度),用字母表示

Question

油滴从静止开始做自由落体运动,经过多长时间才能进入匀速运动状态?油滴只受重力和空气阻力f=6πrnv(v为油滴的速度),用字母表示

Answer 1

据牛顿二定律
am=mg-6πmv
a=g-6πv (1)
进入匀速运动状态即为(1)式a=0,则极限速度vm=g/6π.
由(1)式
dv/dt=g-6πv
分离变量,并积分
∫dv/(g-6πv)=∫dt
(0--->v) (0--->t)
-ln(g-6πv)/(6π)=t
(0--->v) (0--->t)
-ln((g-6πv)/g)/(6π)=t
ln((g-6πv)/g)/(6π)=-6πt
(g-6πv)/g=e^(-6πt)
v=g/(6π)-ge^(-6πt)/(6π) (2)
由(2)式可见,当ge^(-6πt)/(6π)趋近零即t趋近零是速度v趋近极限速度vm=g/6π.