设函数f（x）=ex-ax-2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x-k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．

Question

设函数f（x）=e^x-ax-2．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x-k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．

Answer 1

（I）函数f（x）=e^x-ax-2的定义域是R，f′（x）=e^x-a，
若a≤0，则f′（x）=e^x-a≥0，所以函数f（x）=e^x-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增．
若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）=e^x-a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e^x-a＞0；所以，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．
（II）由于a=1，所以，（x-k） f´（x）+x+1=（x-k） （e^x-1）+x+1
故当x＞0时，（x-k） f´（x）+x+1＞0等价于k＜(x+1)/(ex−1)+x（x＞0）①
令g（x）=(x+1)/(ex−1)+x，则g′（x）=(−xex−1)/((ex−1)2)+1＝(ex(ex−x−2))/((ex−1)2)
由（I）知，函数h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）
当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得e^α=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）
由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2