已知函数f（x）=（x2+bx+b）ex．（1）当b=1时，求函数f（x）的增区间．（2）当0<b≤2时，求函数f（x）在[-2b，b]上的最大值．

Question

已知函数f（x）=（x²+bx+b）e^x．
（1）当b=1时，求函数f（x）的增区间．
（2）当0<b≤2时，求函数f（x）在[-2b，b]上的最大值．

Answer 1

（1）当b=1时，f（x）=（x²+x+1）e^x，
所以f′（x）=（x²+3x+2）•e^x，
由f′（x）>0，得x>-1或x<-2．
故函数f（x）的增区间为（-∞，-2），（-1，+∞）．----------（5分）
（2）因为f（x）=（x²+bx+b）e^x，所以f′（x）=[x²+（2+b）x+2b]e^x=（x+2）（x+b）e^x．
由f′（x）=0，得x=-2或x=-b．
当-2≤-2b，即0所以M=max{f（-2b），f（b）}，
因为f（-2b）=（2b²+b）•e^-2b，
f（b）=（2b²+b）•e^b．
所以M=f（b）．
当-2b<-2<-b，即1在（-b，b）上单调递增．
所以M=max{f（-2），f（b）}，
因为f（-2）=（4-b）•e^-2，
且（2b²+b）-（4-b）=2b²+2b-4
=2->0（1所以M=f（b）．
当-2=-b，即b=2时，f′（x）≥0，
函数f（x）在（-2b，b）上单调递增，
所以M=f（b）．
综上所述，M=f（b）=（2b²+b）e^b．----------（14分）