（2011•盐城一模）已知函数f（x）=x2+a|lnx-1|，g（x）=x|x-a|+2-2ln2，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；（Ⅱ）若f(x)≥32a，x∈[1，+∞)恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）对

Question

（2011•盐城一模）已知函数f（x）=x²+a|lnx-1|，g（x）=x|x-a|+2-2ln2，a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；
（Ⅱ）若f(x)≥(3)/(2)a，x∈[1，+∞)恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）对任意x₁∈[1，+∞），总存在惟一的x₂∈[2，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1，x∈[1，e]时f（x）=x²-lnx+1，f′(x)＝2x−(1)/(x)≥f′(1)＝1，
所以f（x）在[1，e]递增，所以f（x）_max=f（e）=e²（4分）
（Ⅱ）①当x≥e时，f（x）=x²+alnx-a，f'（x）=2x+(a)/(x)，a＞0，∴f（x）＞0恒成立，
∴f（x）在[e，+∞）上增函数，故当x=e时，y_min=f（e）=e²（5分）
②当1≤x＜e时，f（x）=x²-alnx+a，f'（x）=2x-(a)/(x)=(2)/(x)（x+√((a)/(2))）（x-√((a)/(2))），
（i）当√((a)/(2))≤1即0＜a≤2时，f'（x）在x∈（1，e）时为正数，所以f（x）在区间[1，e）上为增函数，
故当x=1时，y_min=1+a，且此时f（1）＜f（e）=e²（7分）
（ii）当1＜√((a)/(2))＜e，即2＜a＜2e²时，f'（x）在x∈（1，√((a)/(2))）时为负数，在间x∈（√(作业帮用户2017-11-12举报问题解析（Ⅰ）当a=1，x∈[1，e]化简f（x），然后研究函数f（x）在[1，e]的单调性，从而求出函数f（x）的最大值；（Ⅱ）讨论x与e的大小去掉绝对值，然后分类讨论讨论导数符号研究函数在[1，+∞）的单调性，从而求出函数f（x）的最小值，使f（x）的最小值恒大于等于(3a)/(2)，求出a的取值范围；（Ⅲ）根据（II）的分类讨论求出函数g（x）的最小值，使g（x）的最小值恒小于等于f（x）的最小值，从而求出a的取值范围．名师点评本题考点：函数的最值及其几何意义；对数函数图象与性质的综合应用．考点点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及分类讨论的思想，解题的关键是对于恒成立的理解，是一道综合题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)