已知函数f(x)=x^2+1,且g(x)=f[f(x)],G(x)=g(x)-af(x)已知函数f(x)=x^2+1且g(x)=f[f(x)],G(x)=g(x)-af(x).试问是否存在实数a使得G(x)在(负无穷,-1)上为减函数,并且在(-1,0)上为增函数?

Question

已知函数f(x)=x^2+1,且g(x)=f[f(x)],G(x)=g(x)-af(x)
已知函数f(x)=x^2+1且g(x)=f[f(x)],G(x)=g(x)-af(x).试问是否存在实数a使得G(x)在(负无穷,-1)上为减函数,并且在(-1,0)上为增函数?

Answer 1

G(x)=g(x)-af(x)=(x^2+1)²+1-a(x²+1)=x⁴+(2-a)x²+1-a
G'(x)=4x³+2(2-a)x
若G(x)在(负无穷,-1)上为减函数,并且在(-1,0)上为增函数
则G'(-1)=0,即 -4-2（2-a)=0,a=4
此时G'(x)=4x³-4)x=4x(x+1)(x-1)
x∈(-∞,-1) 时 G'(x)<0,G(x)为减函数
x∈(-1,0) 时 G'(x)>0,G(x)为增函数
所以,存在实数a=4使得G(x)在(负无穷,-1)上为
减函数,并且在(-1,0)上为增函数.