已知函数f（x）=log3x-1x+1，g（x）=-2ax+a+1．（1）当a=-1时，记h（x）=f（x）+g（x）．①求证：h（x）为奇函数；②直接写出函数h（x）的单调区间以及函数h（x）的零点个数（不必证明）；（2）

Question

已知函数f（x）=log₃(x-1)/(x+1)，g（x）=-2ax+a+1．
（1）当a=-1时，记h（x）=f（x）+g（x）．
①求证：h（x）为奇函数；
②直接写出函数h（x）的单调区间以及函数h（x）的零点个数（不必证明）；
（2）若关于x的方程f（x）=log₃g（x）有两个不等实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

∵函数f（x）=log₃(x-1)/(x+1)，g（x）=-2ax+a+1．
（1）①当a=-1时，记h（x）=f（x）+g（x）．
h（x）=log₃(x-1)/(x+1)+2x，(x-1)/(x+1)>0，x>1或x<-1，
h（-x）=log₃(-x-1)/(-x+1)-2x=-log₃(x-1)/(x+1)-2x=-h（x），
∴h（x）为奇函数；
②y=(x-1)/(x+1)=1-(2)/(x+1)在（1，+∞）与（-∞，-1）上单调递增，
y=2x是增函数，
h（x）的定义域为：（-∞，-1）∪（1，+∞）
h（x）有2个零点，
h（x）在（1，+∞）与（-∞，-1）上单调递增，


（2）关于x的方程f（x）=log₃g（x）有两个不等实数根，
log₃(x-1)/(x+1)=log₃g（x），
即(x-1)/(x+1)=-2ax+a+1．x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
(-2)/(x+1)=a（-2x+1），
a=(2)/((x+1)(2x-1))，
y=(2)/((x+1)(2x-1))，
x=-(1)/(2)时，y=-(16)/(9)，
运用图象可判断出y=a，与y=(2)/((x+1)(2x-1))，有2个交点，
实数a的取值范围：a>0或a<-(16)/(9)