P为正方形ABCD的BC边上的一点,AQ平分∠DAP交CD于点Q,（1）求证：AP=BP+DQ（2)若将AQ平分∠DAP与AP=BP+DQ互换,其他条件不变,结论是否仍然成立?说明理由.

Question

P为正方形ABCD的BC边上的一点,AQ平分∠DAP交CD于点Q,（1）求证：AP=BP+DQ（2)若将AQ平分∠DAP与AP=BP+DQ互换,其他条件不变,结论是否仍然成立?说明理由.

Answer 1

延长BC到点E,使BE=DQ,连接AE,第一问：∵正方形ABCD,∴AB=AD,∠D=90°=∠ABC=∠ABE,AB//DC又∵BE=DQ,∴△ADQ≌△ABE(SAS)∴∠DAQ=∠BAE,∠DQA=∠E∵AQ平分∠DAP,∴∠PAQ=∠DAQ=∠BAE,∴∠EAP=∠BAQ∵AB//DC∴∠EAP=∠BAQ=∠DQA=∠E∴AP=EP=BP+DQ 第二问：仍然成立∵正方形ABCD,∴AB=AD,∠D=90°=∠ABC=∠ABE,AB//DC又∵BE=DQ,∴△ADQ≌△ABE(SAS)∴∠DAQ=∠BAE,∠DQA=∠E∵AP=BP+DQ,BE=DQ∴AP=BP+BE=EP∴∠EAP=∠E=∠DQA∵AB//DC∴∠BAQ=∠DQA=∠E=∠EAP∴∠PAQ=∠BAE=∠DAQ∴AQ平分∠DAP 互相帮助,共同进步,